反函數是函數的特殊類型，它反轉了原函數的輸入和輸出，且與原函數的圖像關于 y = x 線對稱。其性質包括：f(x) 必須單調可逆；反函數 f^-1(x) 也單調可逆；原反函數圖像關于 y = x 線對稱；復合運算 f(f^-1(x)) = x，f^-1(f(x)) = x。求反函數的方法為：交換 x 和 y；求解 y 關于 x；將 y 替換為 x。

反函數和原函數的關系

反函數是函數的一種特殊類型，它反轉了原函數的輸入和輸出。換句話說，反函數對于原函數的圖像與關于 y = x 線對稱。

定義

如果 f(x) 是一個單調可逆的函數，那么其反函數 f^-1(x) 定義為 f^-1(y) = x，其中 x 和 y 滿足關系 f(x) = y。

性質

• 反函數存在的條件：f(x) 必須是單調可逆的。
• 一對應性：反函數 f^-1(x) 也是單調可逆的。
• 對稱性：原函數 f(x) 的圖像與反函數 f^-1(x) 的圖像關于 y = x 線對稱。
• 復合運算：如果 f(x) 和 f^-1(x) 是原函數和反函數，則 f(f^-1(x)) = x，f^-1(f(x)) = x。

如何求反函數

1. 交換 x 和 y：將原函數中的 x 和 y 互換，得到 y = f(x)。
2. 求解 y 關于 x：將 y 解釋為 f^-1(x)，并求解 x 關于 y 的表達式。
3. 替換 y 為 x：將步驟 2 中得到的 x 表達式中的 y 替換為 x。

舉例

• f(x) = 2x + 1：反函數 f^-1(x) = (x – 1)/2
• f(x) = sin(x)：反函數 f^-1(x) = arcsin(x)
• f(x) = e^x：反函數 f^-1(x) = ln(x)